extremos de f(x) = sen |x|

Calcularemos los extremos de la  función: $$f(x)=\sin |x|$$




Para calcular los extremos absolutos de $f(x)$ se necesita calcular el valor que asume $f$ en los extremos del dominio y los valores que toma $f$ en los puntos críticos (si $f$ está definida en esos puntos).

COMPORTAMIENTO EN LOS EXTREMOS DEL DOMINIO.

$g(x)=\sin \theta$ está definida en $\mathbb R$, si hacemos a $\theta= |x|$ entonces $f(x)=\sin |x|$ es continua en $\mathbb R$ porque $h(x)=|x|$ es continua en$\mathbb R$.

Cuando la función tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ tiene un comportamiento oscilante, toma valores entre 1 y -1, como se ve en la siguiente gráfica:

$$f(x) = \sin|x|$$

también lo podemos escribir así:
\[
\lim_{x\rightarrow -\infty}\sin |x|= \lim_{x\rightarrow +\infty}\sin |x|= m  \mbox{tal que}  m\in [-1,1]
\]
Quiere decir que los extremos del dominio no son extremos absolutos.

PUNTOS CRÍTICOS.

Los puntos críticos los averiguamos sabiendo que son los valores de $x$ que hacen que $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no exista (se indefina).
la derivada de seno de $x$ es $\sin'x=\cos x$
Derivando $\sin|x|$ tenemos que:

\begin{eqnarray*}
\sin'|x|&=&&&&&\\
&\cos |x|\cdot\mbox{sgn}(x)&&&&\\
&&&\cos |x|&\mbox{si}&x>0\hspace{1cm}*\\
&=&&&&&\\
&&&-\cos |x|&\mbox{si}&x<0\hspace{1cm}*
\end{eqnarray*}
la derivada $\sin'x$ no existe cuando $x=0$ porque $\mbox{sgn}x=|x|'$ no existe cuando $x=0$.

Las funciones $\pm\cos|x|$ equivalen a $\pm \cos x$ y están definidas para todo $x\;\in\;\mathbb R$ y es cero siempre $x={\pi\over 2}+k\pi=\pi({1\over 2}+k)$ con $k$ un número entero.  O sea en todos los números de la forma $x={\pi\over2},{3\pi\over2},{7\pi\over2},{-\pi\over2},{-5\pi\over2},{-9\pi\over2}...$ tanto positivos como negativos, como puede verse en la siguiente gráfica de $\sin'x=\pm\cos|x|$:

$\sin'x$

Sin embargo, hay dos posibilidades, que la función $f(x)=\sin|x|$ alcance un máximo o alcance un mínimo, entonces analizaremos las dos posibilidades para $k$ en $x=\pi({1\over2} +k)$.

Si $k$ es un número par entonces $x={\pi\over 2}+2k\pi$ y eso son: $x=\{\pm{\pi\over 2},\pm{5\pi\over 2},\pm{9\pi\over 2},\pm{13\pi\over 2}...\}$, entonces $\sin|x|$ alcanza el máximo ($y=1$) en esos valores de x, los puntos serán, entonces, de la forma $({\pi\over 2}+2k,1)$.

 Si $k$ es un número impar entonces $x={3\pi\over 2}+2k\pi$ y eso son: $x=\{\pm{3\pi\over 2},\pm{7\pi\over 2},\pm{11\pi\over 2},\pm{15\pi\over 2}...\}$, entonces $\sin|x|$ alcanza el mínimo ($y=-1$) en esos valores de x, los puntos serán, entonces, de la forma $({3\pi\over 2}+2k\pi,-1)$.

EXTREMOS DE LA FUNCIÓN.

La función $\sin x=|x|$ no tiene máximo ni mínimo absolutos, pero si tiene infinitos máximos y mínimos relativos (o locales).

• Alcanza los  máximos cuando  $x={\pi\over 2}+2k\pi$, o sea en los puntos $({\pi\over 2}+2k\pi,1)$; $k\in\mathbb Z$.
• Alcanza los mínimos cuando  $x={3\pi\over 2}+2k$, o sea en los puntos $({3\pi\over 2}+2k\pi,-1)$; $k\in\mathbb Z$.

Eso se nota en la siguiente imagen de $f(x)=\sin|x|$:

$$f(x)=\sin|x|$$